2009-2010学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∩N=（ ）
A．{x|x＜1}
B．{x|-2＜x＜1}
C．{x|x＜-2}
D．{x|-2≤x＜1}

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-i
B．
C．i
D．-i

3. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（-2，+∞）
B．[-1，+∞）
C．[0，+∞）
D．（-∞，-2）

4. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲，乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）

A．65
B．64
C．63
D．62

6. 难度：中等

在△ABC中，，，sinA=sinB，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种

8. 难度：中等

设函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1），如果f（x₁+x₂+…+x₂₀₀₉）=8，那么f（2x₁）×f（2x₂）×…×f（2x₂₀₀₉）的值等于（ ）
A．32
B．64
C．16
D．8

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（3，n），如果与共线，那么实数n的值是    ．

10. 难度：中等

阅读如图所示程序框图，如果输入的n=5，那么输出的S的值为    ．

11. 难度：中等

函数的最小值是    ．

12. 难度：中等

二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为    ，x+y的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知函数，对于数列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），如果a₁=1，那么a₂=    ，a_n=    ．

14. 难度：中等

给出下列四个命题：
①命题“∃x∈R，x²+1＞3x”的否定形式是“∀x∈R，x²+1＞3x”；
②在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数的图象；
④命题“∃x∈R，x²+1＞3x”的否命题是“∀x∈R，x²+1＞3x”．
其中正确命题的序号是     ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x相应的取值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}，其前n项和为．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）如果数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，请证明数列{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是PA的中点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE．

18. 难度：中等

联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，分组研讨时某组有6名代表参加，A，B两名代表来自亚洲，C，D两名代表来自北美洲，E，F两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．
（Ⅰ）代表A被选中的概率是多少？
（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？

19. 难度：中等

将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应是多少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．