2013年湖南省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法
B．随机数法
C．系统抽样法
D．分层抽样法

3. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）
A．
B．0
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x²-4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

6. 难度：中等

已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为    ．

10. 难度：中等

已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a²+4b²+9c²的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为    ．

12. 难度：中等

若，则常数T的值为    ．

13. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为    ．

14. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂=30°的最小内角为30°，则C的离心率为    ．

15. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，，n∈N^*，则
（1）a₃=    ；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为    ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是    ．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，．
（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．

18. 难度：中等

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

19. 难度：中等

如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（I）证明：AC⊥B₁D；
（II）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

21. 难度：中等

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，证明：；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

22. 难度：中等

已知a＞0，函数．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．