2013年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z=1-i（是虚数单位），则=（ ）
A．2
B．2+i
C．2-i
D．2+2i

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²+1＜1
B．∃x∈R，x²+1≤1
C．∃x∈R，x²+1＜1
D．∃x∈R，x²+1≥1

3. 难度：中等

若，则a=（ ）
A．1
B．32
C．-1
D．-32

4. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（ ）
A．此函数的图象关于直线对称
B．此函数的最大值为1；
C．此函数在区间上是增函数．
D．此函数的最小正周期为π．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（x²-a_nx+b_n），其中a_n，b_n的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x-2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使”，则（ ）
A．p∧q为真命题
B．p∨q为假命题
C．￢p∧q为假命题
D．￢p∨q为真命题

8. 难度：中等

在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0=a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）-2c．
函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄+a₈=2，S₁₁=    ．

10. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为    ．

11. 难度：中等

设曲线y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C₁：和曲线C₂：，则C₁上到C₂的距离等于的点的个数为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．若CB=2，CE=4，则AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求的值；
（3）设，求的值．

17. 难度：中等

某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

月份x	1	2	3	4	5
y（万盒）	4	4	5	6	6

（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，BF=，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求二面角F-OC-B的平面角的正弦值．

19. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）将数列{a_n}，{b_n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c_n}，是否存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和c_λ+λ，c_μ+μ，c_ω+ω均成等差数列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．