2013年广东省惠州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-4x-5=0}，B={x|x²=1}，则A∩B=（ ）
A．-1
B．{-1}
C．{5，-1}
D．{1，-1}

2. 难度：中等

已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=8
C．y²=-4
D．y²=4

4. 难度：中等

如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）

A．36（π+）
B．36（π+2）
C．108π
D．108（）

5. 难度：中等

已知向量，，，则m=（ ）
A．2
B．-2
C．-3
D．3

6. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a-3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．3

7. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x+x-9的零点为x，则x所在区间为（ ）
A．[-，-]
B．[-，]
C．[，]
D．[，]

8. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，有a₆+a₇+a₈=12，则此数列的前13项之和为    ．

10. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

11. 难度：中等

执行如图的程序框图，那么输出S的值是    ．

12. 难度：中等

已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B．若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列四个命题：
①
②
③
④
其中所有正确命题的序号是    ．

13. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x-2y的最小值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中）的周期为π，且图象上一个最低点为M（）
（1）求f（x）的解析式；
（2）当时，求f（x）的值域．

17. 难度：中等

在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：

	科目甲	科目乙	总计
第一小组	1	5	6
第二小组	2	4	6
总计	3	9	12

现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．
（1）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（2）求二面角N-MC-A的正弦值．

19. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ke^x恰有两个不同的实根，求实数k的值；
（3）数列{a_n}满足2a₁=f（2），，求的整数部分．