2013年天津市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（-∞，2]
B．[1，2]
C．[-2，2]
D．[-2，1]

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）
A．-7
B．-4
C．1
D．2

3. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）
A．64
B．73
C．512
D．585

4. 难度：中等

已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③

5. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

6. 难度：中等

在△ABC中，，则sin∠BAC=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=2^-x|log_0.5x|-1的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=    ．

10. 难度：中等

的二项展开式中的常数项为    ．

11. 难度：中等

已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=    ．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为    ．

13. 难度：中等

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为    ．

14. 难度：中等

设a+b=2，b＞0，则当a=    时，取得最小值．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（Ⅱ）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

18. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．

19. 难度：中等

已知首项为的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{T_n}的最大项的值与最小项的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e²时，有．