2013年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{-1，0}
C．{0，1}
D．{-1，0，1}

2. 难度：中等

设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc
B．
C．a²＞b²
D．a³＞b³

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（ ）
A．
B．y=e^-x
C．y=-x²+1
D．y=lg|x|

4. 难度：中等

在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

5. 难度：中等

在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A．
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A．
B．m≥1
C．m＞1
D．m＞2

8. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为对角线BD₁的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

二、填空题

9. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点坐标为（1，0），则p=    ；准线方程为    ．

10. 难度：中等

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为    ．

11. 难度：中等

若等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃+a₅=40，则公比q=    ；前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

设D为不等式组表示的平面区域．区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为    ．

13. 难度：中等

函数的值域为    ．

14. 难度：中等

已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．

16. 难度：中等

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

19. 难度：中等

直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

20. 难度：中等

给定数列a₁，a₂，…，a_n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值记为B_i，d_i=A_i-B_i．
（Ⅰ）设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）设a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a₁＞0．证明：d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；
（Ⅲ）设d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，且d₁＞0．证明：a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．