2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-3＜x＜1，x∈R}，N={-3，-2，-1，0，1}，则M∩N=（ ）
A．{-2，-1，0，1}
B．{-3，-2，-1，0}
C．{-2，-1，0}
D．{-3，-2，-1}

2. 难度：中等

=（ ）
A．2
B．2
C．
D．1

3. 难度：中等

设x，y满足约束条件 ，则z=2x-3y的最小值是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．3

4. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）
A．2+2
B．
C．2-2
D．-1

5. 难度：中等

设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是C上的点PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知sin2α=，则cos²（α+）=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ）

A．1+++
B．1+++
C．1++++
D．1++++

8. 难度：中等

设a=log₃2，b=log₅2，c=log₂3，则（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b

9. 难度：中等

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（ ）
A．y=x-1或y=-x+1
B．y=（x-1）或 y=-（x-1）
C．y=（x-1）或 y=-（x-1）
D．y=（x-1）或 y=-（x-1）

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x∈R，f（x）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（-∞，x）上单调递减
D．若x是f（x）的极值点，则f′（x ）=0

12. 难度：中等

若存在正数x使2^x（x-a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，+∞）
B．（-2，+∞）
C．（0，+∞）
D．（-1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是    ．

14. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=    ．

15. 难度：中等

已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为 ，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为    ．

16. 难度：中等

函数y=cos（2x+φ）（-π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2．

18. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）AA₁=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C-A₁DE的体积．

19. 难度：中等

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．

21. 难度：中等

己知函数f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

22. 难度：中等

【选修4-1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23. 难度：中等

选修4--4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24. 难度：中等

【选修4--5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）．