2013年上海市春季高考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=log₂（x+2）的定义域是    ．

2. 难度：中等

方程2^x=8的解是    ．

3. 难度：中等

抛物线y²=8x的准线方程是    ．

4. 难度：中等

函数y=2sinx的最小正周期是    ．

5. 难度：中等

已知向量，．若，则实数 k=    ．

6. 难度：中等

函数y=4sinx+3cosx的最大值是    ．

7. 难度：中等

复数2+3i（i是虚数单位）的模是    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=    ．

9. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁B与B₁C所成角的大小为    ．

10. 难度：中等

从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为    （结果用数值表示）．

11. 难度：中等

若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2²×3²，所以36的所有正约数之和为（1+3+3²）+（2+2×3+2×3²）+（2²+2²×3+2²×3²）=（1+2+2²）（1+3+3²）=91
参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

展开式为ad-bc的行列式是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

设f^-1（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ）
A．f^-1（2）=2
B．f^-1（2）=4
C．f^-1（4）=2
D．f^-1（4）=4

15. 难度：中等

直线2x-3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．（2，-3）
B．（2，3）
C．（-3，2）
D．（3，2）

16. 难度：中等

函数f（x）=的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．
B．ab＜b²
C．-ab＜-a²
D．

18. 难度：中等

若复数z₁，z₂满足z₁=，则z₁，z₂在复数平面上对应的点Z₁，Z₂（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y=x对称

19. 难度：中等

（1+x）¹⁰的二项展开式中的一项是（ ）
A．45
B．90x²
C．120x³
D．252x⁴

20. 难度：中等

既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A．y=sin
B．y=cos
C．y=sin2
D．y=cos2

21. 难度：中等

若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16

22. 难度：中等

设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）
A．Z∪∁_UN
B．N∩∁_UN
C．∁_U（∁_u∅）
D．∁_U{0}

23. 难度：中等

已知a，b，c∈R，“b²-4ac＜0”是“函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

24. 难度：中等

已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线

三、解答题

25. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=6，异面直线BC₁与AA₁所成角的大小为，求该三棱柱的体积．

26. 难度：中等

如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

27. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S，数列{b_n}满足b，求．

28. 难度：中等

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁，B₂
（1）若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．

29. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

30. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P_n在x轴上，其横坐标为x_n，且{x_n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P_nAP_n+1=θ_n，n∈N^*．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θ_n的最大值及相应n的值．

31. 难度：中等

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
[解]（1）
（2）
（3）