2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x＞0}，，则（ ）
A．A∩B=∅
B．A∪B=R
C．B⊆A
D．A⊆B

2. 难度：中等

若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|（ ）
A．-4
B．
C．4
D．

3. 难度：中等

为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样

4. 难度：中等

已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．y=±

5. 难度：中等

执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（ ）
A．[-3，4]
B．[-5，2]
C．[-4，3]
D．[-2，5]

6. 难度：中等

如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_m-1=-2，S_m=0，S_m+1=3，则m=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

8. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π
B．8+8π
C．16+16π
D．8+16π

9. 难度：中等

设m为正整数，（x+y）^2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）^2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

10. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]
B．（-∞，1]
C．[-2，1]
D．[-2，0]

12. 难度：中等

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1，2，3…若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，，，则（ ）
A．{S_n}为递减数列
B．{S_n}为递增数列
C．{S_2n-1}为递增数列，{S_2n}为递减数列
D．{S_2n-1}为递减数列，{S_2n}为递增数列

二、填空题

13. 难度：中等

已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1-t）．若•=0，则t=    ．

14. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和为，则数列{a_n}的通项公式是a_n=    ．

15. 难度：中等

设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（Ⅰ）若，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

18. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

19. 难度：中等

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

22. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞-1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．