2013年重庆市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4}
B．{3，4}
C．{3}
D．{4}

2. 难度：中等

命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x²＜0
B．不存在x∈R，都有x²＜0
C．存在x∈R，使得x²≥0
D．存在x∈R，使得x²＜0

3. 难度：中等

（-6≤a≤3）的最大值为（ ）
A．9
B．
C．3
D．

4. 难度：中等

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5
B．5，5
C．5，8
D．8，8

5. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．200
D．240

6. 难度：中等

若a＜b＜c，则函数f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内
B．（-∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内
D．（-∞，a）和（c，+∞）内

7. 难度：中等

已知圆C₁：（x-2）²+（y-3）²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=9，M，N分别是圆C₁，C₂上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5-4
B．1
C．6-2
D．

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A．k≤6
B．k≤7
C．k≤8
D．k≤9

9. 难度：中等

4cos50°-tan40°=（ ）
A．
B．
C．
D．2-1

10. 难度：中等

在平面上，，=1，．若||＜，则||的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．（，]
C．（，]
D．（，]

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=    ．

12. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d≠0，S_n为其前n项和，若a₁，a₂，a₅成等比数列，则S₈₌    ．

13. 难度：中等

从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是    （用数字作答）．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为    ．

15. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=    ．

16. 难度：中等

若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

18. 难度：中等

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级	摸出红、蓝球个数	获奖金额
一等奖	3红1蓝	200元
二等奖	3红0蓝	50元
三等奖	2红1蓝	10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

20. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+b²+ab=c²．
（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．

21. 难度：中等

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

22. 难度：中等

对正整数n，记I_n={1，2，3…，n}，P_n={|m∈I_n，k∈I_n}．
（1）求集合P₇中元素的个数；
（2）若P_m的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P_m能分成两人上不相交的稀疏集的并．