2013年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（-∞，2]
B．[1，2]
C．[-2，2]
D．[-2，1]

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）
A．-7
B．-4
C．1
D．2

3. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

4. 难度：中等

设a，b∈R，则“（a-b）a²＜0”是“a＜b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知过点P（2，2）的直线与圆（x-1）²+y²=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=（ ）
A．
B．1
C．2
D．

6. 难度：中等

函数在区间上的最小值是（ ）
A．-1
B．
C．
D．0

7. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．
C．
D．（0，2]

8. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+x-2，g（x）=lnx+x²-3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b）
B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b）
D．f（b）＜g（a）＜0

二、填空题

9. 难度：中等

i是虚数单位．复数（3+i）（1-2i）=    ．

10. 难度：中等

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为    ．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为    ．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为    ．

13. 难度：中等

如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为    ．

14. 难度：中等

设a+b=2，b＞0，则的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号	A1	A2	A3	A4	A5
质量指标（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，1，1）	（1，2，1）
产品编号	A6	A7	A8	A9	A10
质量指标（x，y，z）	（1，2，2）	（2，1，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）

（Ⅰ） 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ） 在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i） 用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．
（Ⅰ） 求b的值；
（Ⅱ） 求的值．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ） 证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ） 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

18. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．

19. 难度：中等

已知首项为的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 证明．

20. 难度：中等

设a∈[-2，0]，已知函数
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x₁x₂x₃≠0，证明．