2013年江西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．-2i
B．2i
C．-4i
D．4i

2. 难度：中等

函数y=的定义域为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]

3. 难度：中等

等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．-24
B．0
C．12
D．24

4. 难度：中等

总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

 7816  6572  0802  6314  0702  4369  9728  0198

 3204  9234  4935  8200  3623  4869  6938  7481

A．08
B．07
C．02
D．01

5. 难度：中等

（x）⁵展开式中的常数项为（ ）
A．80
B．-80
C．40
D．-40

6. 难度：中等

若S₁=x²dc，S₂=dx，S₃=e^xdx，则 S₁，S₂，S₃ 的大小关系为（ ）
A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₁＜S₃
C．S₂＜S₃＜S₁
D．S₃＜S₂＜S₁

7. 难度：中等

阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A．S=2*i-2
B．S=2*i-1
C．S=2*I
D．S=2*i+4

8. 难度：中等

如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

9. 难度：中等

过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l₁，l₂之间，l∥l₁，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l₁平行移动到l₂，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=最小正周期T为    ．

12. 难度：中等

设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x）=x+e^x，则f′（1）=    ．

14. 难度：中等

抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______．

16. 难度：中等

（不等式选做题）
在实数范围内，不等式||x-2|-1|≤1的解集为______．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

18. 难度：中等

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：对于任意n∈N^*，都有T．

19. 难度：中等

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇，A₈（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

21. 难度：中等

如图，椭圆C：经过点P （1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=对称；
（2）若x满足f（f（x））=x，但f（x）≠x，则x称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁，x₂，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x₁，x₂，和a，设x₃为函数f（f（x））的最大值点，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．