2013年重庆市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4}
B．{3，4}
C．{3}
D．{4}

2. 难度：中等

命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（ ）
A．存在x∈R，使得x²＜0
B．对任意x∈R，使得x²＜0
C．存在x∈R，都有
D．不存在x∈R，使得x²＜0

3. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（-∞，2）
B．（2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞）
D．（2，4）∪（4，+∞）

4. 难度：中等

设P是圆（x-3）²+（y+1）²=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

6. 难度：中等

如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（ ）

A．0.2
B．0.4
C．0.5
D．0.6

7. 难度：中等

关于x的不等式x²-2ax-8a²＜0（a＞0）的解集为（x₁，x₂），且：x₂-x₁=15，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．180
B．200
C．220
D．240

9. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log₂10））=5，则f（lg（lg2））=（ ）
A．-5
B．-1
C．3
D．4

10. 难度：中等

设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=    ．

12. 难度：中等

若2、a、b、c、9成等差数列，则c-a=    ．

13. 难度：中等

若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为    ．

14. 难度：中等

OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=    ．

15. 难度：中等

设0≤α≤π，不等式8x²-（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为    ．

16. 难度：中等

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）已知{b_n}是等差数列，T_n为前n项和，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求T₂₀．

18. 难度：中等

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．

19. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．

21. 难度：中等

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．