2013年四川省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，集合B={-2，2}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．{2}
C．{-2，2}
D．{-2，1，2，3}

2. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．圆台

3. 难度：中等

如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）

A．A
B．B
C．C
D．D

4. 难度：中等

设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B
B．￢p：∃x∉A，2x∈B
C．￢p：∃x∈A，2x∉B
D．￢p：∀x∉A，2x∉B

5. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到直线的距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．1

6. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a，最小值为b，则a-b的值是（ ）
A．48
B．30
C．24
D．16

9. 难度：中等

从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e]
B．[1，1+e]
C．[e，1+e]
D．[0，1]

二、填空题

11. 难度：中等

的值是    ．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=    ．

13. 难度：中等

已知函数在x=3时取得最小值，则a=    ．

14. 难度：中等

设sin2α=-sinα，，则tan2α的值是    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距离之和最小的点的坐标是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₂-a₁=2，且2a₂为3a₁和a₃的等差中项，求数列{a_n}的首项、公比及前n项和．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若，b=5，求向量在方向上的投影．

18. 难度：中等

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P_i（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）                  

运行 次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计表（部分）

运行 次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A₁-QC₁D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

20. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+（y-4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

21. 难度：中等

已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．