2013年湖南省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）
A．9
B．10
C．12
D．13

4. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，则g（1）等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x²-4x+4的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A．
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

已知，是单位向量，•=0．若向量满足|--|=1，则||的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

10. 难度：中等

已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁_UA）∩B=    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为    ．

13. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线C，（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为    ．

15. 难度：中等

对于E={a₁，a₂，…．a₁₀₀}的子集X={a₁，a₂，…，a_n}，定义X的“特征数列”为x₁，x₂…，x₁₀₀，其中x₁=x₁₀=…x_n=1．其余项均为0，例如子集{a₂，a₃}的“特征数列”为0，1，0，0，…，0
（1）子集{a₁，a₃，a₅}的“特征数列”的前3项和等于    ；
（2）若E的子集P的“特征数列”P₁，P₂，…，P₁₀₀ 满足p₁=1，p_i+p_i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q₁，q₂，q₁₀₀满足q₁=1，q_j+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（1）求的值；
（2）求使 成立的x的取值集合．

17. 难度：中等

如图．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E；
（2）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

18. 难度：中等

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

Y	51	48	45	42
频数		4

（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．

19. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点F₁，F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＜0．