2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n²，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4}
B．{2，3}
C．{9，16}
D．{1，2}

2. 难度：中等

=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1+i
D．1-i

3. 难度：中等

从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．y=±

5. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，2^x＜3^x；命题q：∃x∈R，x³=1-x²，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∧￢q

6. 难度：中等

设首项为1，公比为的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则（ ）
A．S_n=2a_n-1
B．S_n=3a_n-2
C．S_n=4-3a_n
D．S_n=3-2a_n

7. 难度：中等

执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（ ）
A．[-3，4]
B．[-5，2]
C．[-4，3]
D．[-2，5]

8. 难度：中等

O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4

9. 难度：中等

函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10
B．9
C．8
D．5

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π
B．8+8π
C．16+16π
D．8+16π

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]
B．（-∞，1]
C．[-2，1]
D．[-2，0]

二、填空题

13. 难度：中等

已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1-t）．若•=0，则t=    ．

14. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．

18. 难度：中等

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6   1.2   2.7   1.5    2.8   1.8   2.2   2.3    3.2   3.5
2.5   2.6   1.2   2.7    1.5   2.9   3.0   3.1    2.3   2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2    1.7     1.9     0.8     0.9    2.4     1.2     2.6     1.3     1.4
1.6    0.5     1.8     0.6     2.1    1.1     2.5     1.2     2.7     0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21. 难度：中等

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

22. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞-1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．