2013年辽宁省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的模长为（ ）
A．
B．
C．
D．2

2. 难度：中等

已知集合A={x|0＜log₄x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（0，1）
B．（0，2]
C．（1，2）
D．（1，2]

3. 难度：中等

已知点A（1，3），B（4，-1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
p₁：数列{a_n}是递增数列；
p₂：数列{na_n}是递增数列；
p₃：数列是递增数列；
p₄：数列{a_n+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p₁，p₂
B．p₃，p₄
C．p₂，p₃
D．p₁，p₄

5. 难度：中等

某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），8[20，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60

6. 难度：中等

在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.，且a＞b，则∠B=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

使得（n∈N₊）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a³），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a³
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=12，则球O的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．设H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A．16
B．-16
C．-16a²-2a-16
D．16a²+2a-16

12. 难度：中等

设函数f（x）满足，f（2）=，则x＞0时，f（x）（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值

二、填空题

13. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}是递增数列，S_n是{a_n}的前n项和．若a₁，a₃是方程x²-5x+4=0的两个根，则S₆=    ．

15. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=    ．

16. 难度：中等

为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．

18. 难度：中等

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB-A的余弦值．

19. 难度：中等

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），点M（x，y）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x=1-时，切线MA的斜率为-．
（I）求P的值；
（II）当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF²=AD•BC．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C₁，直线C₂的极坐标方程分别为．
（I）求C₁与C₂交点的极坐标；
（II）设P为C₁的圆心，Q为C₁与C₂交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．

24. 难度：中等

（选修4-5不等式选讲）
已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．