2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

2. 难度：中等

=（ ）
A．-8
B．8
C．-8i
D．8i

3. 难度：中等

已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（-），则λ=（ ）
A．-4
B．-3
C．-2
D．-1

4. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（-1，1）
B．
C．（-1，0）
D．

5. 难度：中等

函数=（ ）
A．
B．
C．2^x-1（x∈R）
D．2^x-1（x＞0）

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（ ）
A．-6（1-3^-10）
B．
C．3（1-3^-10）
D．3（1+3^-10）

7. 难度：中等

（1+x）³（1+y）⁴的展开式中x²y²的系数是（ ）
A．5
B．8
C．12
D．18

8. 难度：中等

椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[-1，0]
B．[-1，∞]
C．[0，3]
D．[3，+∞]

10. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x=对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

二、填空题

13. 难度：中等

已知α是第三象限角，sinα=-，则cotα=    ．

14. 难度：中等

6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有    种．（用数字作答）

15. 难度：中等

记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为{S_n}．已知{S₃}=，且{S₁}，{S₂}，{S₄}成等比数列，求{a_n}的通项式．

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a-b+c）=ac
（I）求B
（II）若sinAsinC=，求C．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（I）证明：PB⊥CD；
（II）求二面角A-PD-C的大小．

20. 难度：中等

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（ I）求第4局甲当裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

21. 难度：中等

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．

22. 难度：中等

已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a_n}的通项a_n=1+．