2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|（x-1）²＜4，x∈R}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2}
B．{-1，0，1，2}
C．{-1，0，2，3}
D．{0，1，2，3}

2. 难度：中等

设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

3. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=a₂+10a₁，a₅=9，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l

5. 难度：中等

已知（1+ax）（1+x）⁵的展开式中x²的系数为5，则a=（ ）
A．-4
B．-3
C．-2
D．-1

6. 难度：中等

执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a=log₃6，b=log₅10，c=log₇14，则（ ）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c

9. 难度：中等

已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x_α∈R，f（x_α）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x_α）单调递减
D．若x_α是f（x）的极值点，则f^′（x_α）=0

11. 难度：中等

设抛物线C：y²=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y²=4x或y²=8
B．y²=2x或y²=8
C．y²=4x或y²=16
D．y²=2x或y²=16

12. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=    ．

14. 难度：中等

从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=    ．

15. 难度：中等

设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=    ．

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

19. 难度：中等

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为x的函数
（Ⅱ）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．

20. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

22. 难度：中等

【选修4-1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23. 难度：中等

选修4--4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24. 难度：中等

【选修4--5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）．