2013年广东省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x²+2x=0，x∈R}，N={x|x²-2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）
A．{0}
B．{0，2}
C．{-2，0}
D．{-2，0，2}

2. 难度：中等

定义域为R的四个函数y=x³，y=2^x，y=x²+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

3. 难度：中等

若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4）
B．（2，-4）
C．（4，-2）
D．（4，2）

4. 难度：中等

已知离散型随机变量X的分布列为

X	1	2	3
P

则X的数学期望E（X）=（ ）
A．
B．2
C．
D．3

5. 难度：中等

某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）

A．4
B．
C．
D．6

6. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

7. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S
B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S
D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S

二、填空题

9. 难度：中等

不等式x²+x-2＜0的解集为    ．

10. 难度：中等

若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=    ．

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为    ．

12. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₃+a₈=10，则3a₅+a₇=    ．

13. 难度：中等

给定区域D：．令点集T={（x，y）∈D|x，y∈Z，（x，y）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定       条不同的直线．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求的值；
（2）若，，求．

17. 难度：中等

某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．

18. 难度：中等

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

20. 难度：中等

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．