2013年福建省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588
B．480
C．450
D．120

5. 难度：中等

满足a，b∈{-1，0，1，2}，且关于x的方程ax²+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．10

6. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）

A．计算数列{2^n-1}的前10项和
B．计算数列{2^n-1}的前9项和
C．计算数列{2ⁿ-1}的前10项和
D．计算数列{2ⁿ-1}的前9项和

7. 难度：中等

在四边形ABCD中，=（1，2），=（-4，2），则该四边形的面积为（ ）
A．
B．
C．5
D．10

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，x（x≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x）
B．-x是f（-x）的极小值点
C．-x是-f（x）的极小值点
D．-x是-f（-x）的极小值点

9. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为q，记b_n=a_m（n-1）+1+a_m（n-1）+2+…+a_m（n-1）+m，c_n=a_m（n-1）+1•a_m（n-1）+2•…•a_m（n-1）+m，（m，n∈N^*），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{b_n}为等差数列，公差为q^m
B．数列{b_n}为等比数列，公比为q^2m
C．数列{c_n}为等比数列，公比为
D．数列{c_n}为等比数列，公比为

10. 难度：中等

设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x₁，x₂∈S，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A．A=N^*，B=N
B．A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q

二、填空题

11. 难度：中等

利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＜0”的概率为    ．

12. 难度：中等

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是    ．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，AD=3，则BD的长为    ．

14. 难度：中等

椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于    ．

15. 难度：中等

当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：
两边同时积分得：
从而得到如下等式：．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

18. 难度：中等

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，连接OB_i，过A_i作x轴的垂线与OB_i，交于点．
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

19. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x∈（），使得f（x），g（x），f（x）g（x）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

21. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x，y）在直线l上，且，求点P的坐标．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集为A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．