2013年陕西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为R，函数的定义域为M，则∁_RM为（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．（-∞，-1]∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）

A．25
B．30
C．31
D．61

3. 难度：中等

设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14

5. 难度：中等

如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设z₁，z₂是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若|z₁-z₂|=0，则
B．若，则
C．若|z₁|=|z₂|，则
D．若|z₁|=|z₂|，则

7. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定

8. 难度：中等

设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ）
A．-20
B．20
C．-15
D．15

9. 难度：中等

在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（ ）
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]

10. 难度：中等

设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（ ）
A．[-x]=-[x]
B．[2x]=2[x]
C．[x+y]≤[x]+[y]
D．[x-y]≤[x]-[y]

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线的离心率为，则m等于    ．

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则其体积为    ．

13. 难度：中等

若点（x，y）位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域，则2x-y的最小值为    ．

14. 难度：中等

观察下列等式：
1²=1
1²-2²=-3
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10
…
照此规律，第n个等式可为    ．

15. 难度：中等

（不等式选做题） 
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为    ．

16. 难度：中等

（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=    ．

17. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x²+y²-x=0的参数方程为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量=（cosx，-），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．

19. 难度：中等

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

20. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ） 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

21. 难度：中等

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

22. 难度：中等

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．