2012年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-i
B．
C．-1
D．

2. 难度：中等

一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为（ ）

A．
B．
C．2
D．4

3. 难度：中等

由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．ln4+1

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（ ）

A．n≤7
B．n＞7
C．n≤6
D．n＞6

5. 难度：中等

盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=（ ）
A．-7
B．
C．
D．7

7. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知平面上四个点A₁（0，0），，，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

二、填空题

9. 难度：中等

极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心坐标为    ．

10. 难度：中等

已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为    ．

11. 难度：中等

如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=    ，PD=    ．

12. 难度：中等

某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：

年份x	2004	2005	2006	2007
恩格尔系数y（%）	47	45.5	43.5	41

从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数（%）为    ．

13. 难度：中等

从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有    种．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y=f（x）图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．那么函数的“姐妹点对”的个数为    ；当函数g（x）=a^x-x-a有“姐妹点对”时，a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值时的x的值．

16. 难度：中等

某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．

ξ	100	80	60
P	0.05	a	b	0.7

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．

17. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
（ⅰ） 求证：BF∥平面ACP；
（ⅱ） 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=4，（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，证明：．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P（x，4）到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

20. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对∀x₁，x₂∈R⁺，都有x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]；
（Ⅲ）若，证明：（i，n∈N^*）．