2011-2012学年安徽省宣城市六校高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U，若A∪B=A∪D，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B=D
B．（B∪D）⊆A
C．A∩（C_UB）=A∩（C_UD）
D．B∩（C_UA）=D∩（C_UA）

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则 i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=（ ）（注：指数从1到2011共2011项连加）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知向量，则与共线且反向的单位向量为（ ）
A．
B．（，-）
C．（-，）
D．（-1，-1）

4. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．8

5. 难度：中等

在平面直角坐标系下，已知 C₁：（t为参数，m≠0的常数），C₂：（θ为参数）．则C₁、C₂位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交、相切、相离都有可能

6. 难度：中等

若一个正四棱柱（底面是正四边形的直棱柱）主视图是一个边长分别为1和2的矩形，则该正四棱柱的外接球的表面积等于（ ）
A．6π
B．9π
C．6π或9π
D．24π或36π

7. 难度：中等

将6名年轻教师派送到4所初中支教，要求每所初中至少分得1名年轻教师，至多2名．则不同的派送方案种数为（ ）
A．720
B．1080
C．2160
D．4320

8. 难度：中等

设方程的实根为x₁，方程log₂x+x=0的实根为x₂，方程的实根为x₃，则（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁=x₂＜x₃
D．x₁=x₂=x₃

9. 难度：中等

过点P（-2，3）且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有（ ）条．
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

为了求满足1+2+3+…+n＜2012的最大的自然数n，程序框图如图所示，则输出框中应填：输出（ ）

A．i-2
B．i-1
C．i
D．i+1

二、解答题

11. 难度：中等

抛物线y=x²的焦点坐标为    ．

12. 难度：中等

函数的定义域为    ．

13. 难度：中等

已知函数，若关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，则数据x₁，x₂，x₃的标准差为    ．（）

14. 难度：中等

如图，⊙O的半径为1，点A，B，C是⊙O上的点，且∠AOB=30°，AC=2AB，则=    ．

15. 难度：中等

下列命题中正确的是     （写出所有正确命题的编号）
①y=sinx（x∈R），在第一象限是增函数；
②对任意△ABC，cosA+cosB＞0恒成立；
③tanx=0是tan2x=0的充分但不必要条件；
④y=|sinx|和y=sin|x|都是R上周期函数；
⑤y=tanx的图象关于点，（k∈Z）成中心对称．

16. 难度：中等

已知函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将其化简，并求其周期、最小值和单调递减区间．

17. 难度：中等

袋中装有2个白球，2个红球，它们大小、形状完全相同，仅强度不同，白球被击中1次破裂（成粉末），红球被击中2次破裂（被击中1次外形不改变）．现随机击2次，设每次均击中一球，每球被击中的可能性相等，记ξ为袋中剩余球的个数．
（Ⅰ）求袋中恰好剩2个球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=n² （n∈N^*），试比较S_n与f（n）的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A₁，A₂，P₁是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P₂ 是点P₁关于x轴的对称点，直线A₁P₁与A₂P₂相交于点E．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求点E的轨迹方程．

21. 难度：中等

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=处取得极值-．记函数图象为曲线C．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设曲线C与其在点P₁（1，f（1））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），线段P₁P₂与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₂，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点P_n（x_n，f（x_n））处的切线交于另一点P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），线段P_nP_n+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为S_n，试求S_n关于n的表达式．