2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第六次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若M={x||x-1|＜2}，N={x|x（x-3）＜0}，则M∩N=（ ）
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|-1＜x＜2}
C．{x|-1＜x＜3}
D．{x|-1＜x＜0}

2. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x-），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，又知α∩β=m，且n⊄α，n⊄β，则“n∥m”是“n∥α且n∥β”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18

5. 难度：中等

若f（x）=f₁（x）=，f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），则f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=（ ）
A．n
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b被m除得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b（modm），例如：5≡13（mod4）．若2²⁰¹⁰≡r（mod7），则r可以为（ ）
A．2008
B．2009
C．2010
D．2011

7. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈（-1，1]时f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，10]内零点的个数为（ ）
A．12
B．14
C．13
D．8

二、解答题

9. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a的值是    ．

10. 难度：中等

若x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₉，x₂₀₁₀的方差是2，则3（x₁-1），3（x₂-1），…，3（x₂₀₀₉-1），3（x₂₀₁₀-1）的方差是    ．

11. 难度：中等

已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为    （填你认为正确的图序号）
 

12. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+ax-2b．若a，b都是区间[0，4]内的数，则使f（1）＞0成立的概率是    ．

13. 难度：中等

某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x（单位：分钟），且x～N（60，100），已知
P（x≤50）=0.159．现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是    ．

14. 难度：中等

已知关于x的方程9^x-（4+a）•3^x+4=0有两个实数解x₁，x₂，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

对有10个元素的总体{1，2，3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A={1，2，3，4}和B={5，6，7，8，9，10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P₁₅=    ，所有
P_ij（1≤i＜j≤10）的和等于    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）若f（x）=1，求cos（-x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+c=b，求f（B）的取值范围．

17. 难度：中等

在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会．如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品．已知某参与者答对每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．
（1）求该参与者获得纪念品的概率；
（2）记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．

18. 难度：中等

如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）当AP为何值时，二面角C₁-PB₁-A₁的大小为？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；
（2）当函数f（x）在[，2]上单调时，求a的取值范围．

20. 难度：中等

某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=．现从山脚的水平公路AB某处C开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n-1段依次为
CC₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n（如图所示），且CC₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ=．试问：
（1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元．修建索道的造价为2a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的首项a₁=，函数f（x）=，g（x）=．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），证明：{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1；
（3）若正项数列{a_n}满足a_n+1=g（a_n），求证：|a_n+1-a_n|≤•（）^n-1．