2011年广东省汕头市澄海中学高三摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x²+x-6=0}，则图中阴影表示的集合为（ ）
A．{2}
B．{3}
C．{-3，2}
D．{-2，3}

2. 难度：中等

设i为虚数单位，则（ ）
A．2¹⁰⁰⁴
B．-2¹⁰⁰⁴
C．2²⁰⁰⁸
D．-2²⁰⁰⁸

3. 难度：中等

已知向量=（-3，3 ），=（x，-4），若，则x=（ ）
A．4
B．-4
C．6
D．-6

4. 难度：中等

若lga+lgb=0（其中a≠1，b≠1），则函数f（x）=a^x与g（x）=b^x的图象（ ）
A．关于直线y=x对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于原点对称

5. 难度：中等

各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1-a_n+1=0（n∈N^*，n≥2），则S₂₀₀₉等于（ ）
A．0
B．2
C．2009
D．4018

6. 难度：中等

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；    
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；    
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是（ ）
A．.①③
B．②④
C．③④
D．①

7. 难度：中等

在△ABC中，||=3，，，则=（ ）
A．-9
B．0
C．9
D．15

8. 难度：中等

如图是函数f（x）=x²+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（）
B．（1，2）
C．（，1）
D．（2，3）

9. 难度：中等

为了得到函数y=sin²x+sinxcosx的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度

10. 难度：中等

为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（ ）
A．40人
B．80人
C．160人
D．200人

二、解答题

11. 难度：中等

满足不等式组，则目标函数k=3x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

如果执行右侧的程序框图，那么输出的S=    ．

13. 难度：中等

从圆（x-1）²+（y-1）²=1外一点P（2，3）向这个圆引切线，则切线长为     ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线θ=（ρ=R）与圆ρ=4cosθ+4sinθ交于A、B两点，则AB=    ．

15. 难度：中等

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为    ．

16. 难度：中等

已知向量，
（1）当∥时，求2cos²x-sin2x的值；
（2）求在上的值域．

17. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D-ABC的体积．

18. 难度：中等

将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x²+y²=15的内部的概率．

19. 难度：中等

设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x，，y）关于直线y=2x的对称点为，求3x₁-4y₁的取值范围．

20. 难度：中等

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程的根的个数．