2012年湖南省岳阳市云溪一中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（2+ai）（1+i）的实部和虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

若lg2=a，lg3=b，则log₂3=（ ）
A．a+b
B．b-a
C．
D．

3. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．{x|x＞3或x＜-2}
B．{x|-2＜x＜3}
C．{x|x＞-2或x＜3}
D．{x|3＜x＜-2}

4. 难度：中等

命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c
B．若a≤b，则a+c≤b+c
C．若a+c＜b+c，则a＜b
D．若a+c≤b+c，则a≤b

5. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（ ）
A．36
B．54
C．72
D．144

6. 难度：中等

如果右边的程序执行后输出的结果是1320，那么在程序UNTIL后面的条件应为（ ）
 
A．i＜=10
B．i＜10
C．i＞=11
D．i＞11

7. 难度：中等

若函数的一个零点落在区间（m，m+1）（m∈N^*）内，则m的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=0，则有（ ）
A．a₁+a₁₁＞0
B．a₂+a₁₀＜0
C．a₃+a₉=0
D．a₆=6

9. 难度：中等

已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）

A．
B．
C．
D．前三个判断都不正确

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在f（x）上的不恒为零的函数，且对于任意实数f（x）都有f（-x）=-f（x），则（ ）
A．f（x）是偶函数，但不是奇函数
B．f（x）是奇函数，但不是偶函数
C．f（x）既是奇函数，又是偶函数
D．f（x）既不是奇函数，又不是偶函数

二、解答题

11. 难度：中等

奇函数f（x）定义域是（t，2t+3），则t=    ．

12. 难度：中等

定积分=    ．

13. 难度：中等

下列命题“①；②∃x∈R，x²+2x+2＜0；③函数y=2^-x是单调递增函数．”中，真命题的个数是    ．

14. 难度：中等

已知函数是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．下列说法：①；②f（x）是奇函数； ③f（x）在定义域上单调函数； ④f（x）的图象关于点对称．其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

16. 难度：中等

已知等比数列{b_n}与数列{a_n}满足
（1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明；
（2）若a₈+a₁₃=m，求b₁b₂…b₂₀．

17. 难度：中等

已知曲线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，圆C₂经过A，B，C三点．
（1）求圆C₂的方程；
（2）过点P（0，m）（m＜-1）的直线l与圆C₂相切，试探讨直线l与曲线C₁的位置关系．

18. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②y=a²；
③其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；
（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．