2011-2012学年湖南省岳阳市炎陵一中高三第六次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．3+i
B．-3-i
C．-3+i
D．3-i

2. 难度：中等

设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm²）为

A．48
B．64
C．80
D．120

4. 难度：中等

双曲线的一个焦点是（0，2），则实数m的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数，若关于x的方程f[f（x）]=k有实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[-2，0）∪（0，1）
C．（-∞，1）
D．[-2，+∞）

6. 难度：中等

设函数，则函数f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

7. 难度：中等

“x＜y＜0”是“x²＞y²”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

二、解答题

9. 难度：中等

不等式lg（x+1）≤0的解集是    ．

10. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

11. 难度：中等

已知m＞0，n＞0，向量，且，则的最小值是    ．

12. 难度：中等

已知x，y满足条件，则x²+y²的最小值为    ．

13. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=    ．

14. 难度：中等

将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax-by=0与圆（x-2）²+y²=2相交的概率为    ．

15. 难度：中等

对于任意正整数j，k，定义a_jk=j-3（k-1），如，a_3，4=3-3（4-1）=-6．对于任意不小于2的正整数m、n，设
b（j，n）=a_j•1+a_j•2+…+a_j•n，S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则b（1，n）=    ； 
S（2，5）=    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}为等比数列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，若等比数列{a_n}的公比q＞2，求数列{b_n}的通项公式．

17. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）若，当ac取最大值时，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，设A₁C₁的中点为O₁．
（Ⅰ）求棱AA₁的长
（Ⅱ）求证：面A₁BC₁⊥面BDD₁O₁
（Ⅲ）求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

19. 难度：中等

（文）某企业自2009年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列．

月份	1月	2月	3月	4月
该企业向湖区排放的污水（单位：立方米）	1万	2万	4万	8万

（1）如果不加以治理，求从2009年1月起，m个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？
（2）为保护环境，当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业停止排放污水后，再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米？

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）