2010年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x（x-3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（0，3）
B．（0，1）
C．（1，3）
D．（-1，3）

2. 难度：中等

已知tanα=2，则=（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

3. 难度：中等

已知直线x+2y+a=0与圆x²+y²=5相切，则实数a=（ ）
A．
B．5
C．
D．±5

4. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₂=3，则a₇=（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

5. 难度：中等

已知向量满足：且，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

为了研究某高校大学5000名新生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校新生的视力情况，得到其频率分布直方图如右图，若规定视力低于5.0的学生属[于近视学生，则估计该校新生中不是近视的人数约为（ ）

A．300人
B．400人
C．600人
D．1000人

8. 难度：中等

已知球O的半径为1，△ABC的顶点都在北纬45°的纬线圈上，且AB=BC，∠ABC=90°，则A，B两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．π

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）与y=log₅x的图象的交点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0），（c＞0），作圆：x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

设曲线y=ax²在点（ 1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a的值是    ．

12. 难度：中等

我校高三某班照毕业像时，有2位老师和3位学生站成一排合影留恋，则2位教师不相邻的不同排法共有    种．（用数字作答）

13. 难度：中等

若（x²+）⁶的二项展开式中x³的系数为，则a=    （用数字作答）．

14. 难度：中等

设有两个命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f（x）=-（5-2a）^x是减函数．若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

函数y=log_a（x-2）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，且点A在曲线y²=mx+n上，其中m，n＞0，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知向量，记．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，且a=1，b+c=2，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
（2）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4分钟的概率．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）求证：AB₁⊥BC₁．
（2）求：二面角C-AC₁-B的大小．

19. 难度：中等

已知函数，若函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求：函数h（x）=f（x）-x的单调递增区间．
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，且△AOB的面积为，求：实数k的值．

21. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数图象上的任意两点，点为线段AB的中点．
（1）求：y的值．
（2）若，求：S_n．
（3）在 （2）的条件下，已知，记T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求：λ的取值范围．