2010-2011学年湖北省宜昌市夷陵中学、荆门市钟祥一中高三第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，2）
C．（1，2）
D．[1，2）

2. 难度：中等

等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若=，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量和平行，且，当△ABC的面积为时，则b=（ ）
A．
B．2
C．4
D．2+

4. 难度：中等

对于非空集合A、B，定义运算A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B．已知两个开区间M=（a，b），N=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b＜c+d，ab=cd＜0，则M⊕N=（ ）
A．（a，b）∪（c，d）
B．（a，c）∪（b，d）
C．（a，d）∪（b，c）
D．（c，a）∪（d，b）

5. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为（ ）
A．π
B．
C．2π
D．4π

6. 难度：中等

已知A．B．C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足=（λ∈R），则P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AC边的中点

7. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=1，点P（x，y）在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则x的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．[0，1]
C．[-2，2]
D．[0，2]

8. 难度：中等

已知函数f （x）=-x²-x⁴-x⁶，x₁，x₂，x₃∈R且x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0，则f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值是（f′（x）是f （x）的导数）（ ）
A．一定小于零
B．等于零
C．一定大于零
D．正负均有可能

9. 难度：中等

已知函数f （x）=（）^x-log₂x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f （x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

若函数f（x）对于任意的x都有f （x+2）=f （x+1）-f （x）且f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，则f （2010）=（ ）
A．1
B．-2
C．lg³-lg²
D．-1

二、解答题

11. 难度：中等

已知，则的值等于     ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）•（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），E（-1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点）FD斜率的范围为    ．

16. 难度：中等

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若，求b²+c²的取值范围．

17. 难度：中等

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t．问：
（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；
（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？

18. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知三次曲线C：f （x）=x³+bx²+cx+d的图象关于点A（1，0）中心对称．
（1）求常数b的值及c与d的关系；
（2）当x＞1时，f （x）＞0恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

已知，A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点
（1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；
（3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值．

21. 难度：中等

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．