2009-2010学年重庆市南开中学高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，则M∩P=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{-1，0}
C．{0，1}
D．{1}

2. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），则P（ξ＜2）=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₅=15，a₈=8，则S₁₀的值为（ ）
A．45
B．55
C．65
D．110

4. 难度：中等

已知非零向量=（ ）
A．
B．2
C．
D．1

5. 难度：中等

设x，y满足不等式组则z=3x-2y的最大值是（ ）
A．0
B．2
C．8
D．16

6. 难度：中等

已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2^x+4^y取得最小值时，过点P（x，y）引圆+=的切线，则此切线段的长度为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

A、B、C、D、E五人排成一行，则A与C不相邻且B与C也不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；
②若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
③若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等或互为补角；
④两直线与同一平面成等角，则这两直线平行．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

过双曲线2x²-y²-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（ ）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条

10. 难度：中等

从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（ ）
A．42种
B．22种
C．23种
D．40种

二、解答题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

已知的展开式中的常数项为15a，则非零实数a的值是    ．

13. 难度：中等

若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，且AB=BC=2，，则A、B两点之间的球面距离为    ．

14. 难度：中等

设P为椭圆上一动点，EF为圆N：（x-1）²+y²=1的任意一条直径，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若函数，且f（x）＞4对定义域内的所有x恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为．
（1）求f（x）；
（2）若f（a）=，a∈（，），求sin（-2a）的值．

17. 难度：中等

某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响．
（I）求恰有一人通过考试的概率；
（Ⅱ）设被录取的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E．PD=DC．
（1）求证：DE⊥PC
（2）求证：PA∥平面EDB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

19. 难度：中等

设a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

20. 难度：中等

已知拋物线y²=2px（p＞0）上一动点P，抛物线内一点A（3，2），F为焦点且|PA|+|PF|的最小值为．（1）求抛物线的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值时的P点坐标；（2）过（1）中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点，直线CD是否过一定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，且，证明：．