2010年广东省揭阳市高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²=1}，N={a|ax=1，x∈M}，则下列关于集合M、N之间关系的判断中，正确的是（ ）
A．N⊊M
B．M∪N=∅
C．M=N
D．M∩N=∅

2. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
A．对∀x∈R，x²≥
B．对∀x∈R，x²＜
C．对∀x∈R，∃y∈R，y²＜
D．∃x∈R，对∀y∈R，xy=

3. 难度：中等

如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₆+a₇=20，a₇+a₈=28，则该数列前13项和S₁₃等于（ ）．
A．156
B．132
C．110
D．100

5. 难度：中等

已知f（x）=的导函数为f′（x），则f′（i）=（i为虚数单位）（ ）．
A．-1-2i
B．-2-2i
C．-2+2i
D．2-2i

6. 难度：中等

若，x∈（0，π），则sinx-cosx的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

已知简谐运动f（x）=Asin（ωx+φ），的部分图象如图示，则该简谐运动的最小正周期和初相φ分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若椭圆与曲线x²+y²=a²-b²无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d（km）（d＜200km）的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n（km）以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．（经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本），则n的值为（ ）

项目           作物	水果	蔬菜	稻米	甘蔗
市场价格（元/kg）	8	3	2	1
生产成本（元/kg）	3	2	1	0.4
运输成本	0.06	0.02	0.01	0.01
单位面积相对产量（kg）	10	15	40	30

A．50
B．60
C．100
D．120

二、解答题

11. 难度：中等

设向量=（3，4），=（-2，-1），则向量与的夹角的余弦值为     ．

12. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对解析式为     ；其应的曲线在点（e，f（e））处的切线方程为     ．

13. 难度：中等

在空间，到定点的距离为定长的点的集合称为球面．定点叫做球心，定长叫做球面的半径．平面内，以点（a，b）为圆心，以r为半径的圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，类似的在空间以点（a，b，c）为球心，以r为半径的球面方程为     ．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为     、AB的长为     ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，若过点A（4，0）的直线l与曲线ρ²=4ρcosθ-3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为     ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a≤b≤c），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含80）
之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．

（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据m_i与f_i分别表示图甲中各组的组中值及频率）

（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．

18. 难度：中等

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求证：AD=CE．

19. 难度：中等

已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x²+y²=9上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点，
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，n∈N^*．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_2n-1b_2n+1，求使得对一切n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设数列{b_n}的前n和为S_n，T_n=S_2n-S_n，试比较T_n+1与T_n的大小．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=2，b=-2，求函数f（x）的极值；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，试求出a关于b的关系式（即用a表示b），并确定f（x）的单调区间；（提示：应注意对a的取值范围进行讨论）
（3）在（2）的条件下，设a＞0，函数g（x）=（a²+14）e^x+4．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．