2008-2009学年重庆市西南师大附中高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i³（1+i）²=（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（C_RA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B=（0，+∞）
D．（C_RA）∩B={-2，-1}

3. 难度：中等

函数图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．π

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}中，前n项之和为S_n，已知S₃=8，S₆=7，则a₇+a₈+a₉=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

平面α⊥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β

6. 难度：中等

平面上的向量满足，若向量，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

①若ξ～，则Eξ=1；②若ξ～N（2，4），则～N（0，1）；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为0.4．其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③

8. 难度：中等

已知P是椭圆+=1上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆半径为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

9. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂|x-1||，且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6个不同的实数解，若最小实数解为-3，则a+b的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．0
D．不能确定

10. 难度：中等

若x、y∈{x|x=a+a₁•10+a₂•100}，其中a_i∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）
A．50个
B．70个
C．90个
D．180个

二、解答题

11. 难度：中等

的值等于    ．

12. 难度：中等

在（x-a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数是15，则实数a=    ．

13. 难度：中等

若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为    ．

14. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则三棱锥的体积与球的体积之比是    ．

15. 难度：中等

关于函数（a为常数，且a＞0）对于下列命题：
①函数f（x）的最小值为-1；
②函数f（x）在每一点处都连续；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）在x=0处可导；
⑤对任意的实数x₁＜0，x₂＜0且x₁＜x₂，恒有
其中正确命题的序号是    ．

16. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC三内角，向量=（-1，），=（cosA，sinA），且，
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若．

17. 难度：中等

一次数学考试中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已经确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有两道可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因完全不会做只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）所得分数ξ的分布列与数学期望．

18. 难度：中等

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是边长为2的正三角形，且DE=2AB=2，F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求面ABC与面EDC所成的二面角的大小（只求其中锐角）；
（3）求BE与平面AFE所成角的大小．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．

20. 难度：中等

如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：（O为原点）且
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在 （2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式．