2010年江苏省南通市海安中学高考数学模拟试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数的值是    ．

2. 难度：中等

已知集合A={y|y=，x∈R}；B={y|y=log₂（x-1），x∈R}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a₁=1，a₂=，（n∈N^*），则该数列的通项a_n=    ．

4. 难度：中等

已知，则=    ．

5. 难度：中等

一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为    ．

6. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．若f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为    ．

8. 难度：中等

从集合A={-1，1，2，3}中任取两个元素m、n（m≠n），则方程所对应的曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是    ．

9. 难度：中等

已知△ABC的外接圆的圆心O，BC＞CA＞AB，则的大小关系为    ．

10. 难度：中等

若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，则实数ab的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为    ．

12. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上一点，设P到准线的距离为d₁，P到点A（1，4）的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为    ．

13. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为    ．

14. 难度：中等

设函数，方程f（x）=x+a有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？

16. 难度：中等

在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
（1）求角A；
（3）若，求角C的取值范围．

17. 难度：中等

甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹．
（1）求空弹出现在第一枪的概率；
（2）求空弹出现在前三枪的概率；
（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）．

18. 难度：中等

已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，，圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线l被圆所截得的弦长为．
（1）求圆C的方程及直线l的方程；
（2）设圆N的方程（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，（θ∈R），过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂=b₂，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…）成等比数列，求数列{n_k}的通项公式；
（Ⅲ）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且至少存在三个不同的b值使得等式a_m+t=b_n（t∈N）成立，试求a、b的值．

21. 难度：中等

在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB²．

22. 难度：中等

设矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵M^-1以及
圆x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

23. 难度：中等

选修4-4 参数方程与极坐标
求圆ρ=3cosθ被直线（t是参数）截得的弦长．

24. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

25. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

26. 难度：中等

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．