2010-2011学年上海市黄浦区大同中学高三（下）开学数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程2cosx+1=0的解集是    ．

2. 难度：中等

若，则m=     n=    ．

3. 难度：中等

设复数z₁=a+2i，z₂=3-4i，若，则实数a=    ．

4. 难度：中等

某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为    ．

5. 难度：中等

对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是    ．

6. 难度：中等

已知（2^x-）⁹展开式的第7项为，则（x+x²+x³+…+xⁿ）=    ．

7. 难度：中等

函数的最小正周期T=    ．

8. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的前n项和，且a是常数，则此无穷等比数列各项的和等于    （用数值作答）．

9. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）对于任意的x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），且f（-3）=-2，则f（2009）的值为    ．

10. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆：x²+y²=1相交于A、B两点，且，则=    ．

11. 难度：中等

（文）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

（理）若半径是R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是    ．

13. 难度：中等

如果实数x，y满足条件那么2x-y的最大值为    ．

14. 难度：中等

一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x的数学期望Ex=    ．

15. 难度：中等

公比为4的等比数列{b_n}中，若T_n是数列{b_n}的前n项积，则有，，仍成等比数列，且公比为4¹⁰⁰；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a_n}中，若S_n是{a_n}的前n项和，则有    也成等差数列，该等差数列的公差为    ．

16. 难度：中等

对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是    ．

二、选择题

17. 难度：中等

已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

19. 难度：中等

[理科]观察下列式子：，，，…，可以猜想结论为（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位，所得图象的函数为偶函数，则a的最小值为 （ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

22. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

23. 难度：中等

已知椭圆的长轴为4，且点在该椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆径的圆经过原点，求直线l的方程．

24. 难度：中等

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若．
（1）求证：x与y的关系为；
（2）设，定义在R上的偶函数F（x），当x∈[0，1]时F（x）=f（x），且函数F（x）图象关于直线x=1对称，求证：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求实数a的取值范围．

25. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．