2010-2011学年湖北省荆州、黄冈、宜昌、襄阳、孝感、十堰、恩施高三（下）4月联考数学试卷B（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={（a+3）+（b²-1）i，8}，集合N={3i，（a²-1）+（b+2）i}，其中a，b∈R，i是虚数单位，若M=N，则（ ）
A．a=-3，b=-2
B．a=-3，b=2
C．a=±3，b=-2
D．a=3，b=2

2. 难度：中等

已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的面积为（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

3. 难度：中等

若的展开式中x³的系数为10，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．

4. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（3，7），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜a-2），则a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，，b⊥c，，a⊥d，，b⊥d，那么（ ）
A．a∥b或c∥d
B．a∥b且c∥d
C．d中至多有一对直线互相平行
D．d任何两条直线都不平行

6. 难度：中等

将8个志愿者名额全部分配给3所学校，每校至少有一个名额且各校名额互不相等，则分配方法的种数为（ ）
A．11
B．12
C．20
D．21

7. 难度：中等

已知f（x）=|x²-2x|，a＜b＜c＜d且f（a）=f（b）=f（c）=f（d）则a+2b+2c+d=（ ）
A．6
B．8
C．4
D．5

8. 难度：中等

在离心率为的双曲线中，F为右焦点，过F点倾斜角为60°的直线与双曲线右支相较于A、B两点且点A在第一象限，若，则m=（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知函数，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且对于n∈N^*，总有a_n＞a_n+1成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦••B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot） 在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第10行的空心圆点的个数是（ ）

A．55
B．34
C．21
D．13

二、解答题

11. 难度：中等

不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则=    ．

12. 难度：中等

在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是    ．

13. 难度：中等

如图，已知BD⊥平面ABC，AE∥BD，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°AB=BD=2AE，则面CDE与面ABC所成的角的正切值为    ．

14. 难度：中等

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长是20，把三角形ABC沿AC折起来，AB折过去后，交DC于点F，设AB=x，则三角形ADF的面积最大时的x的值为    ．

15. 难度：中等

若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，则下列方程的曲线存在自公切线的有    （填上所有正确的序号）
①  ②y²-x² ③y=2sinx-3cosx   ④y=xcosx．

16. 难度：中等

已知：函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函数f（x）的图象过点，．求的值．

17. 难度：中等

箱子里装有10个大小相同的编号为1、2、3的小球，其中1号小球有2个，2号小球有m，3号小球有n个，且m＜n．从箱子里一次摸出两个球号码是2号和3号各一个的概率是
（1）求m，n的值；
（2）从箱子里一次任意摸出两个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P-ACDE的体积．

19. 难度：中等

椭圆的两个焦点坐标分别为和，且椭圆过点（）
（1）求椭圆方程；
（2）过点作直线l交该椭圆于M，N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足；数列{b_n}满足
（1）求证：数列{a_n}是等差数列．
（2）若a₁=1，a₂=2，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列前n项和为T_n，试比较与（2n²+3n-2）•2^n-1的大小．

21. 难度：中等

已知函数在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．