2009年湖北省武汉市硚口区高三数学交流试卷1（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

（文科）某质检人员从编号为1～100，这100件产品中，依次抽出号码为3，7，13，17，23，27，…93，97的产品进行检验，则这样的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．以上都不对

3. 难度：中等

设A，B，C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N，则必有（ ）
A．C∩P=C
B．C∩P=P
C．C∩P=C∪P
D．C∩P=∅

4. 难度：中等

命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（ ）
①若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数；②若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．
A．①
B．②
C．①②
D．①②都不是

5. 难度：中等

已知函数f（x）=+（x-1）的定义域为M，g（x）=ln（2-x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞-2}
B．{x|x＜2}
C．{x|-2＜x＜2}
D．以上都不对

6. 难度：中等

若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且=（ ）
A．2
B．0
C．1
D．-2

7. 难度：中等

一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知（2x+1）ⁿ的展开式中，二项式系数和为a，各项系数和为b，则=（ ）
A．
B．
C．-3
D．3

9. 难度：中等

若（5+4x）ⁿ的展开式中各项二项式系数之和为a_n，（3x²+9）ⁿ的展开式中各项系数之和为b_n，则的值为（ ）
A．2ⁿ
B．3ⁿ
C．24ⁿ
D．6ⁿ

10. 难度：中等

已知曲线C：x²y+xy²=1，则曲线C关于对称的序号有（ ）
（1）x轴对称；（2）y轴对称；（3）原点对称；（4）直线y=x对称；（5）直线y=-x对称．
A．（3）（4）
B．（1）（5）
C．（4）
D．（2）（5）

11. 难度：中等

设定点F₁（0，-3）、F₂（0，3），动点P满足条件|PF₁|+|PF₂|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段

12. 难度：中等

四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h₁，h₂，h₃，h₄，则它们的大小关系正确的是（ ）

A．h₂＞h₁＞h₄
B．h₁＞h₂＞h₃
C．h₃＞h₂＞h₄
D．h₂＞h₄＞h₁

二、解答题

13. 难度：中等

2008年9月25日21时10分，我国成功地用长征2F运载火箭将“神舟七号”宇宙飞船送入太空，21时33分，飞船成功进入距地球表面近地点高度约200公里、远地点约346公里的椭圆轨道．该轨道的一个焦点在地球中心，已知地球半径约为6371公里，则椭圆轨道的离心率是    ．

14. 难度：中等

一扇形的中心角为α，周长为8-π，若在直角坐标系中，当α角的始边与x角的正半轴重合时，x角的终边上的一点坐标为（3.5sin2，-3.5cos2），则扇形的面积为    ．

15. 难度：中等

二次函数f（x）的部分图象如图，则|f（x）|≤2的解集为    ．

16. 难度：中等

（理科）从-3，-2，-1，0，1，2，3，4折8个数中任选3个不同的数组成二次函数y=ax²+bx+c的系数a、b、c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线的概率是    ．

17. 难度：中等

某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：

分数	[0，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
人数	2	5	6	8	12	6	4	2

那么分数在[100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是    （精确到0.01）．

18. 难度：中等

一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是    米．

19. 难度：中等

在△ABC中，已知，，点D在线段AB上，且，，设∠BAC=θ，，，求sinx的值．

20. 难度：中等

（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒． 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子．
（1）用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；
（2）用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望；
（3）由此你能推断出怎样的结论？

21. 难度：中等

一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．
（1）求证：EF为AD及PC的公垂线（2）求直线BD与平面BEF所成的角．

23. 难度：中等

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．
元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

24. 难度：中等

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

25. 难度：中等

已知向量n=（1，0），点A（0，2），动点P满足：||比向量在n的方向上的投影多2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．

26. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

27. 难度：中等

（文科）数列{a_n}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S_n，若S₁₀和S₁₉的等比中项为S₁₆．数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）数列{a_n}的通项a_n；（2）数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值．