2010年北京市人大附中高三数学标准化试卷（12）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义A-B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N-M=（ ）
A．M
B．N
C．{1，4，5}
D．{6}

2. 难度：中等

若sin2a=，则sin⁴a+cos⁴a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知P（x，y）为圆（x-2）²+y²=1上任意一点，则的最小值为（ ）
A．.
B．.-
C．）
D．）-

4. 难度：中等

已知-9，a₁，a₂，-1四个实数成等差数列，-9，b₁，b₂，b₃，-1五个实数成等比数列，则b₂（a₂-a₁）=（ ）
A．8
B．-8
C．±8
D．

5. 难度：中等

已知条件p：|x-4|≤6；条件q：（x-1）²-m²≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[21，+∞）
B．[9，+∞）
C．[19，+∞）
D．（0，+∞）

6. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

7. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=（ ）
A．2009
B．-2009
C．
D．

8. 难度：中等

如图过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）

A．y²=
B．y²=9
C．y²=
D．y²=3

二、解答题

9. 难度：中等

函数f（x）=lg（x²-1）+的定义域为    ﹒

10. 难度：中等

已知焦点F₁（5，0），F₂（-5，0），双曲线上的一点P到F₁，F₂的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为______．

11. 难度：中等

（理科） 点A不在⊙O上，过A作⊙O的割线交⊙O于B，C且AB•AC=64，OA=10，则⊙O的半径为______

12. 难度：中等

点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为    ．

13. 难度：中等

若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，三内角A，B，C分别对应三边a，b，c，tanC=，c=8，则△ABC外接圆半径R为    ﹒

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则集合M∩N所表示的平面区域的面积是    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知A（5，0）、B（0，5）、C（cosα，sinα），且α∈（π，2π）．
（Ⅰ）若（O为坐标原点），求角α的值；
（Ⅱ）若，求的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax²+3是奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的极值．

18. 难度：中等

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的方向向量为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，并且a₁=1，对任意正整数n，S_n+1=4a_n+2；设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（II）设的前n项和，求T_n．

20. 难度：中等

汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率．