2009年江苏省南通市启东中学高考数学模拟试卷8（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设a，b∈R，集合{1，a+b，a}=，则b-a=    ．

2. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为    ．

3. 难度：中等

函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

4. 难度：中等

如果执行如下图所示的程序，那么输出的S=    ．

5. 难度：中等

如图，抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是    ．

6. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项a₁=-1，前n项和为S_n，若，则公比q等于    ．

7. 难度：中等

已知随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），若P（ξ＜-1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=    ．

8. 难度：中等

函数y=e^x•sinx+1在点（π，1）处的切线方程是    ．

9. 难度：中等

已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），-＜θ＜，则||的最大值为    ．

10. 难度：中等

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是    米．

11. 难度：中等

若关于x的方程-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知函数，则f（x）的值域是     ．

二、选择题

13. 难度：中等

平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．一个圆
C．一个椭圆
D．双曲线的一支

14. 难度：中等

f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

15. 难度：中等

设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A．
B．∥
C．
D．

16. 难度：中等

已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．4

三、解答题

17. 难度：中等

设函数，其中向量，，，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

18. 难度：中等

某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是，构造数列{a_n}，使得a_n=，记S_n=a₁+a₂+…+a_n （n∈N^*）．
（1）求S₄=2的概率；
（2）求前2次均出现正面，且2≤S₆≤4的概率．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

20. 难度：中等

如下图，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，点P分线段AB所成的比为3：1，以OA、OB所在直线为渐近线的双曲线M恰好经过点P，且离心率为2．
（1）求双曲线M的标准方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点E、F，且E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5n⁺…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．