2010年天津市高三考前数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则A∩B=（ ）
A．{x|4＜x＜6}
B．{x|x≥4}
C．{x|4≤x＜6}
D．{x|x＞2且x≠6}

2. 难度：中等

若函数的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．2π

3. 难度：中等

如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t（s）与小球相对平衡位置（即静止的位置）的高度h（cm）之间的函数关系式是（t∈[0，+∞）），则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为（ ）

A．2，2
B．4，2
C．4，
D．2，

4. 难度：中等

已知球面上有三点A、B、C，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（ ）
A．13cm
B．12cm
C．24cm
D．26cm

5. 难度：中等

某展柜用同样的长方体型商品堆成如下图的若干堆展品：现用f（n）表示第n堆的商品总数，则f（n-1）=（ ）

A．n²
B．n²-2n+1
C．
D．

6. 难度：中等

（文） 某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（ ）
A．65人，150人，65人
B．30人，150人，100人
C．93人，94人，93人
D．80人，120人，80人

7. 难度：中等

（理）若函数（x≠-1）的反函数为y=f^-1（x），则f^-1（1-i）=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．
D．

8. 难度：中等

若m、n是空间两条不同直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：
①m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β②若m、n与所成的角相等，则m∥n
③m⊥α，m⊥n⇒n∥α④α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

9. 难度：中等

集合M={（x，y）|x≥1}，P={（x，y）|x-y+1≤0}，S={（x，y）|2x-y-2≤0}，若T=M∩P∩S，点E（x，y）∈T，则u=x²+y²的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．25
D．5

10. 难度：中等

（文）设f（x）=x⁵-5x⁴+10x³-10x²+5x+1，则f（x）的反函数f^-1（x）为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

（理） 已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n-1=a_n，且a₁=a₂=1，而该数列的第5项a₅与三角式（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数相等，则cosθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

二次函数的图象是抛物线，其焦点的坐标是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

13. 难度：中等

已知，命题p：关于x的方程没有实数根，命题q：，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

14. 难度：中等

某师范大学的数学教育专业有6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫接力计划，志愿到某市的A县、B县、C县三个县任教五年，则一县4名，另两县每县1名的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

对任意正整数x、y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且，则f（1）+f（2）+…+f（2008）=（ ）
A．1-
B．
C．
D．

二、解答题

16. 难度：中等

某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例    （选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为    ．

17. 难度：中等

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是    ．

18. 难度：中等

有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第二日读的字数为    ．

19. 难度：中等

（理） 已知点集，其中，，点P_n（a_n，b_n）∈L，P₁=L∩{（x，y）|x=1}，且a_n+1-a_n=1，则数列{b_n}的通项公式为    ．

20. 难度：中等

对于下列四个命题
①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；
②已知集合A=正四棱柱，B=长方体，则A∩B=B；
③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a-3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y-2=0的异侧；
④对2×2数表定义平方运算如下：=，则=
其中真命题是    （将你认为的正确命题的序号都填上）．

21. 难度：中等

已知向．
（Ⅰ）若的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，求α的最小值．

22. 难度：中等

（文）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（Ⅰ）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ） 求电梯停下的次数不超过3次的概率．

23. 难度：中等

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

24. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若，，且．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点N（2，1），是否存在一条直线l与轨迹C相交于A、B两点，且以点N为线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

如图，在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：四点B、C、F、G共面；
（Ⅱ）求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值；
（Ⅲ） 求多面体ABC-DEFG的体积．

26. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax³+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值
（1）求a，b
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

27. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为y=f^-1（x），且对任意实数x都有．现有数列a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（文）求满足对所有n∈N^*恒成立的m的取值范围．

28. 难度：中等

（理）令，S_n为数列{nc_n}的前n项和，求证不等式．