2008年北京市西城区高三抽样测试数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a₂₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0≤k≤19的整数k，数列确定．记．
（I）当k=1时，求M的值；
（II）求M的最小值及相应的k的值．

二、选择题

2. 难度：中等

已知集合A⊂{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A共有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个

3. 难度：中等

若p：lg（x-1）＜0，q：|1-x|＜2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=1+log_ax（a＞0且a≠1），f^-1（x）是f（x）的反函数，若y=f^-1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

若（x-1）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a+a₂+a₄的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

7. 难度：中等

已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=1
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

8. 难度：中等

设双曲线的半焦距为c，离心率为．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ）
A．30种
B．27种
C．24种
D．21种

三、解答题

10. 难度：中等

设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件．现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取    件玩具．

11. 难度：中等

若R，i是虚数单位，则a²+b²=    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

设x∈R，函数的最小值是-2，则实数k=    ．

14. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是    ；A，B两点的球面距离为    ．

15. 难度：中等

按下列程序框图运算：

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．
若x=5，则运算进行    次才停止；若运算进行k （k∈N^*）次才停止，则x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知α为第二象限的角，为第三象限的角，．
（I）求tan（α+β）的值．
（II）求cos（2α-β）的值．

17. 难度：中等

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51．假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．
（I）求p的值；
（II）设试验成功的方案的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小；
（III）求点c到平面AB₁D的距离．

19. 难度：中等

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

20. 难度：中等

设a＞0，函数．
（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．