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2008年北京市西城区高三抽样测试数学试卷(理科)(解析版)
一、解答题
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1. 难度:中等
设a1,a2,…,a20是首项为1,公比为2的等比数列.对于满足0≤k≤19的整数k,数列manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网确定.记manfen5.com 满分网
(I)当k=1时,求M的值;
(II)求M的最小值及相应的k的值.
二、选择题
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2. 难度:中等
已知集合A⊂{1,2,3},且A的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A共有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
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3. 难度:中等
若p:lg(x-1)<0,q:|1-x|<2,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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4. 难度:中等
已知函数f(x)=1+logax(a>0且a≠1),f-1(x)是f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图象过点(3,4),则a等于( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.2
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5. 难度:中等
在正三棱锥P-ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,有下列四个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE;④平面PDE⊥平面ABC.其中正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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6. 难度:中等
若(x-1)4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a+a2+a4的值为( )
A.9
B.8
C.7
D.6
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7. 难度:中等
已知manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网是不共线的向量,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网(λ,μ∈R),那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=1
B.λ-μ=1
C.λμ=-1
D.λμ=1
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8. 难度:中等
设双曲线manfen5.com 满分网的半焦距为c,离心率为manfen5.com 满分网.若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c,则k等于( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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9. 难度:中等
manfen5.com 满分网如图,正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有( )
A.30种
B.27种
C.24种
D.21种
三、解答题
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10. 难度:中等
设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件,其中甲厂生产了1440件.现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测,则应从甲加工厂抽取    件玩具.
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11. 难度:中等
manfen5.com 满分网R,i是虚数单位,则a2+b2=   
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12. 难度:中等
manfen5.com 满分网=   
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13. 难度:中等
设x∈R,函数manfen5.com 满分网的最小值是-2,则实数k=   
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14. 难度:中等
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD边长为1,高AA1=manfen5.com 满分网,它的八个顶点都在同一球面上,那么球的半径是    ;A,B两点的球面距离为   
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15. 难度:中等
按下列程序框图运算:
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规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.
若x=5,则运算进行    次才停止;若运算进行k (k∈N*)次才停止,则x的取值范围是   
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16. 难度:中等
已知α为第二象限的角,manfen5.com 满分网为第三象限的角,manfen5.com 满分网
(I)求tan(α+β)的值.
(II)求cos(2α-β)的值.
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17. 难度:中等
设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p,且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51.假设这两套试验方案在试验过程中,相互之间没有影响.
(I)求p的值;
(II)设试验成功的方案的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
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18. 难度:中等
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.
(I)求证:A1C∥平面AB1D;
(II)求二面角B-AB1-D的大小;
(III)求点c到平面AB1D的距离.

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19. 难度:中等
设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(Ⅰ)证明:manfen5.com 满分网
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程.
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20. 难度:中等
设a>0,函数manfen5.com 满分网
(I)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
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