2008-2009学年湖北省百所重点中学高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A、B是非空数集，定义：A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则A⊕B的非空真子集个数为（ ）
A．64
B．32
C．31
D．30

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则（1+i）^x+y的值为（ ）
A．4
B．-4
C．4+4i
D．2i

3. 难度：中等

已知函数f（x）=1+log_ax（a＞0且a≠1），f^-1（x）是f（x）的反函数，若y=f^-1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

若函数f（x+1）的定义域为[0，1]，则f（2^x-2）的定义域为（ ）
A．[0，1]
B．[log₂3，2]
C．[1，log₂3]
D．[1，2]

5. 难度：中等

如果函数y=x²+bx+c对任意的实数x，都有f（1+x）=f（-x），那么（ ）
A．f（-2）＜f（0）＜f（2）
B．f（0）＜f（-2）＜f（2）
C．f（2）＜f（0）＜f（-2）
D．f（0）＜f（2）＜f（-2）

6. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（μ，σ²），且Eξ=3，Dξ=1，那么P（2＜ξ≤4）等于（ ）（其中N（μ，σ²）在（μ-σ，μ+σ）内的取值概率为0.683；在（μ-2σ，μ+2σ）内的取值概率为0.954；在（μ-3σ，μ+3σ）内的取值概率为0.997）
A．0.5
B．0.683
C．0.954
D．0.997

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数y=f（1-x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且对定义域中的任意x，有f（-x）+f（x）=0，g（x）•g（-x）=1，且g（0）=1，则函数是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

9. 难度：中等

已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log₂10）的值（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数的图象和函数g（x）=log₂x的图象的交点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

11. 难度：中等

已知P={x||x-a|＜4}，Q={x|x²-4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）恒为正，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数在R上连续，则 =    ．

14. 难度：中等

如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两数均为    ，第n行的第2个数为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2x-4，g（x）=|2x-3m|，h（x）=f（x）+g（x）．给出以下四个命题：
①若h（x）＞0的解集为（0，+∞），则m的取值是m=-；②若h（x）＞0的解集为（-∞，+∞），则m的取值是m＞；③对称；
④g（x）的图象关于直线x=对称．其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

16. 难度：中等

已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的值域．

17. 难度：中等

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．
为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

19. 难度：中等

2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称	贝贝	晶晶	欢欢	迎迎	妮妮
数    量	2	2	2	1	1

从中随机地选取5只．
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；…．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值．（结果保留一位小数）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

21. 难度：中等

数列．
（1）求证：①a_n＜a_n+1；②1≤a_n＜2；（2）比较的大小，并加以证明．