2008-2009学年广东省六校联合体高三第二次联考数学试卷（文科）（仲元中学、中山一中、宝安中学、潮阳一中、南海中学、普宁二中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则C_UA和C_UB公共元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

3. 难度：中等

函数与的图象的交点坐标为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，-1）
C．（0，0）
D．（1，1）

4. 难度：中等

如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（ ）

A．正视图的面积最小
B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小
D．三个视图的面积一样大

5. 难度：中等

连掷两次骰子分别得到点数m、n，向量=（m，n），=（-1，1）若△ABC中与同向，与反向，则∠ABC是钝角的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数（其中a＜-1）的单调递减区间为（ ）
A．、（a，+∞）
B．（-∞，a）、
C．
D．

7. 难度：中等

为了确保神州七号飞船发射时的信息安全，信息须加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见下表）：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	10	21	22	23	24	25	26

通过变换公式：，将明文转换成密文，如=17，即h变换成q；，即e变换成c．若按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是（ ）
A．love
B．live
C．move
D．life

8. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a、b算术平均数是，且，，则m+n的最小值是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

9. 难度：中等

三角函数式：①，②，③，④．
其中在上的图象如图所示的函数是（ ）

A．③
B．①②
C．①②④
D．①②③④

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=10，S₅=55，则过点，的直线是（ ）
A．y=2x+1
B．
C．y=2x-1
D．

二、解答题

11. 难度：中等

当执行完程序语句“i＜=10”后，i的值变为    ．

12. 难度：中等

定义运算“*”如下：，则函数f（x）=（1*x）•x-（2*x）（x∈[-2，2]）的最小值等于     ．

13. 难度：中等

①∀x∈R，x²+2x+7＞0； ②∃x∈R，x+1＞0； ③如果“若^¬p则^¬q”是正确的，那么“若q则p”也是正确的； ④设命题p：ϕ是任何集合的子集，命题q：0∈ϕ，则p∨q正确，p∧q错误．以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线过极点的对称轴为    ．

15. 难度：中等

如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且，则点O到AC的距离OD=    ．

16. 难度：中等

已知向量p=（sinax，sinax），q=（sinax，-cosax），其中a＞0，若函数f（x）=p•q的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

17. 难度：中等

为了了解六校联合体中某一学校学生的学习情况，现从该校文科考生中抽取考生若干人，分析其联考的文科数学成绩．将取得数据整理并画出频率分布直方图（如图所示）．已知从左到右第一分数段的频率为0.03，第二分数段的频率为0.06，第四分数段的频率为0.12，第五分数段的频率为0.10，第六分数段的频率为0.27，且第四分数段的频数为12．根据条件解答下列问题：
（Ⅰ）从该校文科考生中抽取了多少人？
（Ⅱ）哪些分数段出现的学生人数一样多？出现学生人数最多的分数段为多少人？
（Ⅲ）若分数在90分以上（含90分）的为及格，试估计这个学校学生在这次考试数学成绩的及格率．

18. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

19. 难度：中等

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，并且a₁=1，对任意正整数n，S_n+1=4a_n+2；设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（II）设的前n项和，求T_n．

20. 难度：中等

如图抛物线x²=2py的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P（不过原点），做抛物线的切线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（Ⅰ）求证：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若过F、A的直线交准线l于C，证明：四边形PFBC为菱形．

21. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈时，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？证明你的结论．