2003-2004学年湖北省“鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三1月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（）^x，x＞1}，则A∪B等于（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|y＞0}
C．∅
D．R

2. 难度：中等

下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线对称的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

随机变量ξ～N（0，1），记φ（x）=P（ξ＜x），则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．φ（x）=1-φ（-x）
C．P（|ξ|＜a）=2φ（a）-1
D．P（|ξ|＞a）=1-φ（a）

5. 难度：中等

设p，q是简单命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在复平面内，设向量i（x₁，x₂，y₁，y₂∈R），则等于（ ）
A．
B．
C．（）
D．（）

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则前9项的和S₉等于（ ）
A．66
B．99
C．144
D．297

8. 难度：中等

平面向量，则这样的向量有（ ）
A．1个
B．2个
C．多个2个
D．不存在

9. 难度：中等

如果f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则+++…+等于（ ）
A．2003
B．1001
C．2004
D．2002

10. 难度：中等

若x∈R，n∈N₊，定义M_xⁿ=x（x+1）（x+2）…（x+n-1），例如M_-5⁵=（-5）（-4）（-3）（-2）（-1）=-120，则函数f（x）=xM_x-9¹⁹的奇偶性为（ ）
A．是偶函数而不是奇函数
B．是奇函数而不是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数

11. 难度：中等

已知α，β是锐角，sinα=x，cosβ=y，cos（α+β）=-，则y与x的函数关系式为（ ）
A．-+x   （＜x＜1）
B．
C．
D．

12. 难度：中等

某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第（ ）层．
A．15
B．14
C．13
D．12

二、解答题

13. 难度：中等

设f（x）=x⁵-5x⁴+10x³-10x²+5x+1，则f（x）的反函数f^-1（x）=    ．

14. 难度：中等

若f（x）是以5为周期的奇函数且f（-3）=1，tanα=2，则f（20sinαcosα）=    ．

15. 难度：中等

甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表有    种．

16. 难度：中等

如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin²．
（I）求角A的大小；
（II） 若a=，b+c=3，求b和c的值．

18. 难度：中等

如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量．
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通．求线路信息畅通的概率；
（Ⅱ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望．

19. 难度：中等

已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．动点P满足：．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（2）当的最大值和最小值．

20. 难度：中等

从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．
（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值．

21. 难度：中等

已知分别是x轴，y轴方向上的单位向量，，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

22. 难度：中等

已知f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R）
（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值为，最小值为，求证：
（2）当时，对于给定的负数a，有一个最大的正数m（a），使得x∈[0，m（a）]时都有|f（x）|≤5，问a为何值时，m（a）最大，并求这个最大值m（a），证明你的结论．
（3）若f（x）同时满足下列条件：①a＞0；②当|x|≤2时，有|f（x）|≤2；③当|x|≤1时，f（x）最大值为2，求f（x）的解析式．