2008年上海市上海中学高三3月综合练习数学试卷1（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=    ．

2. 难度：中等

如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于    ．

3. 难度：中等

若（1+2x）ⁿ展开式中含x³项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=    ．

4. 难度：中等

（文） 若，则目标函数z=2x+y的最小值为    ．

5. 难度：中等

已知a＜0，则关于x的不等式的解集为    ．

6. 难度：中等

点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，且△PF₁F₂的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为    ．

7. 难度：中等

数列{a_n}满足：a_n=，它的前n项和记为S_n，则S_n=    ．

8. 难度：中等

某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为    ．

9. 难度：中等

若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为    ．

11. 难度：中等

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要    个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．

12. 难度：中等

若函数y=a^x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于    （精确到0.1）．

13. 难度：中等

老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=    ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

二、选择题

14. 难度：中等

若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A．4sin（B+）+3
B．4sin（B+）+3
C．6sin（B+）+3
D．6sin（B+）+3

16. 难度：中等

若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（ ）
A．P和Q都在l上
B．P和Q都不在l上
C．P在l上，Q不在l上
D．P不在l上，Q在l上

17. 难度：中等

数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，且a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（ ）
A．5032
B．5044
C．5048
D．5050

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．

19. 难度：中等

设虚数z满足|2z+15|=|+10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图所示，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB₁A₁垂直于底面．
（1）判断B₁C与C₁A是否垂直，并证明你的结论；
（2）求四棱锥B-ACC₁A₁的体积．

21. 难度：中等

在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：

项目	金额[元/]	性质与计算方法
基础工资	2007年基础工资为20000元	考虑到物价因素，决定从2008年 起每年递增10%（与工龄无关）
房屋补贴	800	按职工到公司年限计算，每年递增800元
医疗费	3200	固定不变

如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．
（1）若今年（2008年）算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；
（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（|x|-b）²+c，函数g（x）=x+m．
（1）当b=2，m=-4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；
（2）当c=-3，m=-2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．

23. 难度：中等

若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．