2009年上海市静安区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

设的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为    ．

3. 难度：中等

已知某铅球的表面积是484πcm²，则该铅球的体积是    cm²．

4. 难度：中等

（理）已知圆柱的体积是，点O是圆柱的下底面圆心，底面半径为1，点A是圆柱的上底面圆周上一点，则直线OA与该圆柱的底面所成的角的大小是    （结果用反三角函数值表示）．

5. 难度：中等

（文）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是    cm³．

6. 难度：中等

已知复数z满足方程z²-2z+3=0，则|z|=    ．

7. 难度：中等

若复数z=[（log₃x）²-2log₃x-3]+[（log₃x）²-5log₃x+6]i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x=    ．

8. 难度：中等

有8名同学排成前后两排，每排4人．如果甲、乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排，，那么不同的排法共有    种（用数字作答）．

9. 难度：中等

（文）某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课，如果体育课不排在第一节也不排在第四节，则不同的排法共有    种（用数字作答）．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}（n∈N^*）的首项a₁＞0，设S_n为{a_n}的前n项和，且S₆=S₁₁，则当S_n取得最大值时，n=    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，设S_n为{a_n}的前n项和，则S₃₀=    ．

12. 难度：中等

（理）某工厂的一位产品检验员在检验产品时，可能把正品错误地检验为次品，同样也会把次品错误地检验为正品．已知他把正品检验为次品的概率是0.02，把次品检验为正品的概率为0.01．现有3件正品和1件次品，则该检验员将这4件产品全部检验正确的概率是    （结果保留三位小数）．

13. 难度：中等

（文）抛掷一枚均匀的骰子，则事件“出现的点数大于4”的概率是    ．

14. 难度：中等

已知周期为2的偶函数f（x）的定义域是实数集R，且当x∈[0，1]时，f（x）=log₂（2-x），则当x∈[2007，2009]时，f（x）=    ．

15. 难度：中等

执行下面的程序框图，如果输入的k=50，那么输出的S=    ．

16. 难度：中等

已知关于x的不等式组1≤kx²+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合   

17. 难度：中等

已知关于x的不等式（ax-1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

18. 难度：中等

函数与函数在（0，+∞）上的单调性为（ ）
A．都是增函数
B．都是减函数
C．一个是增函数，另一个是减函数
D．一个是单调函数，另一个不是单调函数

19. 难度：中等

下列以行列式表达的结果中，与sin（α-β）相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

已知长方体的表面积是24cm²，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是（ ）
A．
B．4cm
C．
D．

21. 难度：中等

已知关于x的不等式|x-2|+3-x＜m的解集为非空集合，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1
B．m≤1
C．m＞1
D．m≥1

三、解答题

22. 难度：中等

（理）设是平面上的两个向量，若向量与相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若，且，求α的值（结果用反三角函数值表示）

23. 难度：中等

（文）已知是平面上的两个向量．
（1）试用α、β表示；
（2）若，且，求α的值（结果用反三角函数值表示）

24. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，求：
（1）该直三棱柱的侧面积；
（2）异面直线DE与A₁B₁所成的角的大小．

25. 难度：中等

（理）根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式（日产品废品率=）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润T按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算．
（1）将该车间日利润T（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？

26. 难度：中等

沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y（以元为单元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

27. 难度：中等

已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若，则（其中n₁、n₂、p为正整数）．
（1）若，试探究与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．

28. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．