2010年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数（2+i）（1-i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（ ）
A．命题p不一定是假命题
B．命题q不一定是真命题
C．命题q一定是真命题
D．命题p与命题q真假性相同

3. 难度：中等

在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=：4：，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

4. 难度：中等

直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x²+（y-1）²=5的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定

5. 难度：中等

如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（ ）

A．
B．1
C．
D．2

6. 难度：中等

设a＞0，b＞0，则以下不等式中，不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．a^ab^b≥a^bb^a

7. 难度：中等

已知a是实数，则函数f（x）=sinax的导函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设全集U={3，a，a²+2a-3}，A={2，3}，∁_UA={5}，则a的值为    ．

10. 难度：中等

在的展开式中，x⁶y²项的系数是    ．

11. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

给出以下一个算法的程序框图（如右图），如果a=sin2，b=log_1.10.9，c=1.1^0.9，则输出的结果是    ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

13. 难度：中等

设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy中，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD=2，DB=4，则DE=    ．

16. 难度：中等

已知，，设．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且，，试求△ABC的面积S．

17. 难度：中等

上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的
世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如表所示．

分组 （单位：岁）	频数	频率
[20，25）	5	0.050
[25，30）	①	0.200
[30，35）	35	②
[35，40）	30	0.300
[40，45]	10	0.100
合计	100	1.00

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30，35）岁的人数（结果取整数）；
（Ⅱ）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，
圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．
（1）求证：AG⊥BD；
（2）求二面角P-AG-B的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

设函数
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：AB⊥MF；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n是S_n和2的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当1≤i≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和T_n；
（3）设，求证：．