2008年上海市虹口区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数（1+ai）•（a²+i）是纯虚数，则实数a=    ．

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S₂₀=30，则a₃+a₁₈=    ．

3. 难度：中等

集合A={x||x|≤4，x∈R}，B{x||x-3|≤a，x∈R}，且A⊇B，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

函数y=x^a2-2a-3是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为    ．

5. 难度：中等

当x＞2时，使不等式x+≥a恒成立的实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

二次函数f（x）=2x²+bx+5，如实数p≠q，使f（p）=f（q），则f（p+q）=    ．

7. 难度：中等

过点A（0，3），被圆（x-1）²+y²=4截得的弦长为2的直线方程是    ．

8. 难度：中等

（理）化极坐标方程ρ=为直角坐标方程，是    ．

9. 难度：中等

（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数=   

工序	a	b	c	d	e
紧前工序	-	a	a	b，c	d
工时数（天）	3	3	5	4	6

10. 难度：中等

（理）若x²+2x¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，则a=    ．

11. 难度：中等

若，则目标函数z=x+3y的取值范围是    ．

12. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中任选出由4个数组成的子集，这四个数中任两个数的和都不等于9的概率为    （用分数表示）

13. 难度：中等

△ABC中，A=60°，b=1，c=4，则该三角形的外接圆的半径R=    ．

14. 难度：中等

设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式：①b*（b*b）=b   ②（a*b）*[b*（a*b）]=b   ③（a*b）*a=a中，恒成立的是    （写出序号）

二、选择题

15. 难度：中等

函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，则=（ ）
A．0
B．
C．-1
D．1

16. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁=1，∠AA₁B=∠A₁D₁B₁=60°，则此长方体的对角线长是（ ）
A．2
B．
C．
D．

17. 难度：中等

直线x=t，y=x将椭圆面+y²≤1分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，任意两块不同色，共有120不同涂法，则t的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-，）
C．（-，-）∪（，）
D．（-∞，）（-，+∞）

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=3，a₂=7，当n≥1时，a_n+2等于a_n•a_n+1的个位数字，则a₂₀₁₀=（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9

三、解答题

19. 难度：中等

已知：-＜α＜0，sinα+cosα=，求：
（1）sinα-cosα 的值；
（2）3sin²-2sincos+cos² 的值．

20. 难度：中等

（理）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一点，过点A、D、E的平面交棱PC于F，求证：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大小．

21. 难度：中等

（文）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（2）求异面直线PC与BD的夹角大小．

22. 难度：中等

某厂预计从2008年初开始的前n个月内，市场对某种产品的需求总量f（n）与月份n的近似关系为：f（n）=n（n+1）（35-2n），（单位：台），n∈N^*，且n≤12
（1）写出2008年第n个月的需求量g（n）与月份n的关系式
（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少应为多少？

23. 难度：中等

已知=（0，1），直线l：y=-1，动点P到直线l的距离d=||
（1）求动点P的轨迹方程M；
（2）证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则•=-3”为真命题；
（3）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（）²a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N^*，均有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ，（ n∈N^*）

25. 难度：中等

已知一次函数f（x）=ax+b，二次函数g（x）=ax²+bx+c，a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）证明：y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点A和B
（2）若A₁、B₁分别是点A、B在x轴上的射影，求线段A₁B₁长度的取值范围
（3）证明：当x≤-时，恒有f（x）＜g（x）