2006年上海市普陀区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=2sin（3x-4）的最小正周期是    ．

2. 难度：中等

不等式的解集是    ．

3. 难度：中等

边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小是    ．

4. 难度：中等

若函数，则方程f^-1（x）=7的解是    ．

5. 难度：中等

若复数是纯虚数，则a=    ．

6. 难度：中等

过点且与直线平行的直线的一般式方程是    ．

7. 难度：中等

已知cos227°=m，则cos43°=     （用含m的代数式表示结果）．

8. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的第二项a₂=-5，各项和S=16，则该数列的公比q=    ．

9. 难度：中等

设0＜a＜1，0＜b＜1，则=    ．

10. 难度：中等

在圆x²+y²=4上与直线4x+3y-12=0距离最小的点的坐标是    ．

11. 难度：中等

我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻．05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：
媒体A：“…，凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元．”
媒体B：“…，凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件．”
媒体C：“…，凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元．”
请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体C（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些．

	汇率
欧元兑美元	1：1.19
英镑兑欧元	1：1.52

12. 难度：中等

如图，已知ABCD和A₁B₁C₁D₁都是正方形，且AB∥A₁B₁，AA₁=BB₁=CC₁=DD₁，若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是    （用分数表示结果）．

二、选择题

13. 难度：中等

设x，y都是实数，则“x＞|y|”是“x＞y”的条件（ ）
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₇•a₉=36，且a₅=9，则a₁₁=（ ）
A．27
B．4
C．±4
D．

15. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

16. 难度：中等

若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知：向量，求：cos（α-β）．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=2x的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为1，直线FA与抛物线交于点A、B，求向量和夹角的大小．

19. 难度：中等

求证：不存在虚数z同时满足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0（k为实数且k≠0）．

20. 难度：中等

人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题．05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章．报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：
●截至05年6月底，俄罗斯人口为1.431亿，人口密度每平方公里只有8.38人；
●04年一年俄人口就减少了76万，05年1月至5月共又减少了35.9万；
●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约1亿人口，比目前锐减30%．
试根据以上数据信息回答下列问题：
（1）以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）
（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人？

21. 难度：中等

设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

22. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试构造一个数列{b_n}，（写出{b_n}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，且=2，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令c_n=1-（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．