2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（6）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=在区间[2，5]上的值域是    ．

2. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项为a₁=a，公比q≠1，则=    ．

3. 难度：中等

如果奇函数y=f（x） （x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，则使f（x-1）＜0的x的取值范围是    ．

4. 难度：中等

抛物线y=x²+2x的准线方程为    ．

5. 难度：中等

=    ．

6. 难度：中等

现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发，向北60°西方向航行，问    分钟后两船相距最近．

7. 难度：中等

有六根细木棒，其中较长的两条木棒长分别为a、a，其余四根木棒长均为a，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为    ．

8. 难度：中等

若首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列{a_n}满足（-qⁿ）=，则a₁的取值范围是    ．

9. 难度：中等

某甲A篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是    ．

10. 难度：中等

设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z-4i|=|z+2|，则2^x+4^y的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是    ．

12. 难度：中等

集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x-1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

已知向量={cosα，sinα}，={cosβ，sinβ}，那么（ ）
A．
B．
C．
D．与的夹角为α+β

14. 难度：中等

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（ ）
A．f（x）的图象过点
B．f（x）在上是减函数
C．f（x）的一个对称中心是
D．f（x）的最大值是A

15. 难度：中等

设x＞0，y＞0，且xy-（x+y）=1，则（ ）
A．x+y≤2+2
B．x+y≥2+2
C．x+y≤（+1）²
D．x+y≥（+1）²

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f^-1（x）与y=a^|x-1|的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga-lgb=lgcosB-lgcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=x-b的图象关于直线y=x对称，求边长c．

18. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）若M为BC₁的中点，试用基向量、、表示向量；
（3）求异面直线AM与BC所成角．

19. 难度：中等

双曲线3x²-y²=1与直线ax-y+1=0相交于A、B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．

20. 难度：中等

设M（k）是满足不等式log₂₅x+log₂₅（26×25^k-1-x）≥2k-1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）  n∈N．
（1）求S；
（2）设t=5ⁿ-²+5ⁿ⁺²+n-2  （n∈N），试比较S与t的大小．

21. 难度：中等

程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．
（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a（1+0.5%）-x元）

22. 难度：中等

如果实系数a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂都是非零常数．
（1）设不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分别为A和B，试问 是A=B的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．